Jeudi 29 septembre 2016, Rémi Cornaggia, doctorant à l'UMA, a soutenu sa thèse intitulée "Développement et utilisation de méthodes asymptotiques d'ordre élevé pour la résolution de problèmes de diffraction inverse".
Résumé :
L’objectif de ce travail fut le développement de nouvelles méthodes pour aborder certains problèmes inverses en élasticité, en tirant parti de la présence d’un petit paramètre dans ces problèmes pour construire des approximations asymptotiques d’ordre élevé.
La première partie est consacrée à l’identification de la taille et la position d’une inhomogénéité enfouie dans un domaine élastique tridimensionnel. Nous nous concentrons sur l’étude de fonctions-coûts quantifiant l’écart entre ce défaut inconnu et une inhomogénéité "test”. L'objectif est de minimiser cette fonction-coût par rapport à tout ou partie des caractéristiques de l’inclusion “test” (position, taille, propriétés mécaniques ...) pour établir la meilleure correspondance possible avec le défaut réel. A cet effet, nous produisons un développement asymptotique de J en la taille du défaut test, qui en constitue une approximation polynomiale plus aisée à minimiser. Ce développement, établi jusqu’`a l’ordre six, est justifié par une estimation du résidu. Une méthode d’identification adaptée est ensuite présentée et illustrée par des exemples numériques portant sur des obstacles de formes simples dans l’espace libre.
L’objet de la seconde partie est de caractériser une inclusion microstructurée, modélisée en une dimension, composée de couches de deux matériaux alternés périodiquement. Nous supposons que les plus basses de ses fréquences propres de transmission (TEs) sont connues. Ces fréquences sont les valeurs propres d’un problème dit de transmission intérieur. Afin de disposer d’un modèle propice à l’inversion, tout en prenant en compte les effets de la microstructure, nous nous reposons sur des approximations de ce problème obtenues par homogénéisation. A partir du modèle homogénéisé d’ordre 0, nous établissons tout d’abord une méthode simple pour déterminer les paramètres macroscopiques (longueur et contrastes matériaux) d’une telle inclusion. Pour avoir accès à la période de la microstructure, nous nous intéressons ensuite à des modèles homogénéisés d’ordre élevé, pour lesquels nous soulignons le besoin de conditions aux limites adaptées.