Le mardi 17 décembre 2013 à 14h dans l'amphi 2329 Pierre-Louis Poirion, doctorant de l'Unité de Mathématiques Appliquées (UMA) , soutiendra sa thèse intitulée "Programmation linéaire mixte robuste : application au dimensionnement d'un système hybride de production d'électricité".
Résumé de la thèse : Cette thèse porte sur l'optimisation robuste. Plus précisément, nous nous intéresserons aux problèmes linéaires mixtes bi-niveaux, c'est à dire aux problèmes dans lesquels le processus de décision est divisé en deux parties : dans un premier temps, les valeurs optimales des variables dites "de décisions" seront calculées ; puis, une fois que l'incertitude sur les données est levée, nous calculerons les valeurs des variables dites "de recours". Dans cette thèse, nous nous limiterons au cas où les variables de deuxième étape, dites "de recours", sont continues.
Dans la première partie de cette thèse, nous nous concentrerons sur l'étude théorique de tels problèmes. Nous commencerons par résoudre un problème linéaire simplifié dans lequel l'incertitude porte seulement sur le membre droit des contraintes, et est modélisée par un polytope bien particulier. Nous supposerons en outre que le problème vérifie une propriété dite "de recours complet", qui assure que, quelles que soient les valeurs prises par les variables de décisions, si ces dernières sont admissibles, alors le problème admet toujours une solution réalisable, et ce, quelles que soient les valeurs prises par les paramètres incertains. Nous verrons alors une méthode permettant, à partir d'un programme robuste quelconque, de se ramener à un programme robuste équivalent dont le problème déterministe associé vérifie la propriété de recours complet. Avant de traiter le cas général, nous nous limiterons d'abord au cas où les variables de décisions sont entières. Nous testerons alors notre approche sur un problème de production.
Ensuite, après avoir remarqué que l'approche développée dans les chapitres précédents ne se généralisait pas naturellement aux polytopes qui n'ont pas des points extrêmes 0-1, nous montrerons comment, en utilisant des propriétés de convexité du problème, résoudre le problème robuste dans le cas général. Nous en déduirons alors des résultats de complexité sur le problème de deuxième étape, et sur le problème robuste.
Dans la suite de cette partie nous tenterons d'utiliser au mieux les informations probabilistes que l'on a sur les données aléatoires pour estimer la pertinence de notre ensemble d'incertitude.
Dans la deuxième partie de cette thèse, nous étudierons un problème de conception de parc hybride de production d'électricité. Plus précisément, nous chercherons à optimiser un parc de production électrique constitué d'éoliennes, de panneaux solaires, de batteries et d'un générateur à diesel, destiné à répondre à une demande locale d'énergie électrique. Il s'agit de déterminer le nombre d'éoliennes, de panneaux solaires et de batteries à installer afin de répondre à la demande pour un coût minimum. Cependant, les données du problème sont très aléatoires. En effet, l'énergie produite par une éolienne dépend de la force et de la direction du vent; celle produite par un panneau solaire, de l'ensoleillement et la demande en électricité peut être liée à la température ou à d'autres paramètres extérieurs. Pour résoudre ce problème, nous commencerons par modéliser le problème déterministe en un programme linéaire mixte. Puis nous appliquerons directement l'approche de la première partie pour résoudre le problème robuste associé. Nous montrerons ensuite que le problème de deuxième étape associé, peut se résoudre en temps polynomial en utilisant un algorithme de programmation dynamique. Enfin, nous donnerons quelques généralisations et améliorations pour notre problème.